Мациевский Д.Е. Многогранники в искусстве
Мациевский Д.Е. Многогранники в искусстве
Образец ссылки на эту статью: Мациевский Д.Е. Многогранники в искусстве // Бизнес и дизайн ревю. 2017. Т. 1. № 2(6). С. 10.
УДК 741.021.4.
МНОГОГРАННИКИ В ИСКУССТВЕ
Мациевский Денис Евгеньевич
АНО ВО «Институт Бизнеса и Дизайна», Москва, Россия (129090, г. Москва, Протопоповский переулок, дом 9, стр. 1), доцент кафедры Изобразительного искусства, denis.matsievskiy@mail.ru, +7-917-517-43-98.
На примере собственных художественных произведений, авторских чертежей и схем показывается значение многогранников, как в изобразительном искусстве, так и в других пластических искусствах. Указывается на значение развития пространственного мышления и воображения.
Цель статьи: ознакомить читателя с прекрасным миром многогранников, показать возможности геометрического анализа формы, выявить междисциплинарные связи. Дается возможность увидеть взаимосвязь науки и искусства.
В статье повествуется о структурном подходе к рисунку, об эстетической привлекательности «математических вещей». Статья рассчитана на студентов художественных, архитектурных, дизайнерских специальностей, а также на всех интересующихся искусством.
Ключевые слова: изобразительное искусство; геометрия; додекаэдр; перспектива; рисунок; живопись.
THE POLYHEDRA IN ART
Matsievskiy Denis Evgenevich
Institute of Business and Design (B&D), Moscow, Russia (129090, Moscow, Protopopovskiy lane, 9/1), Associate Professor, Department of Visual Arts, denis.matsievskiy@mail.ru, +7-917-517-43-98.
For example, your own artistic works, copyright of drawings and schemes shows the importance of polyhedra as in the visual arts and other plastic arts. Acknowledge the importance of development of spatial thinking and imagination.
The purpose of this article is to familiarize the reader to the wonderful world of polyhedrons to show the possibilities of geometric analysis of shape to identify interdisciplinary connections. Given the opportunity to see the relationship between science and art.
The article talks about a structural approach to drawing, about the aesthetic appeal of "mathematical things". This article is intended for students of art, architectural, and design professions, as well as to all those interested in art.
Kay-words: art, geometry, dodecahedron, perspective, drawing, painting.
Многогранный мир прекрасен. Он удивителен своим многообразием, своей многогранностью, каждая грань это что-то новое, она всегда обещает нам что-то другое, доселе не виданное. И что удивительно, мы просто окружены многогранниками. Стоит просто посмотреть вокруг. Та комната, аудитория, зал, где вы находитесь сейчас, читая эту статью, как правило, имеет форму прямоугольного параллелепипеда.
Если начать смотреть и анализировать, то окажется, что множество видимых нами объектов можно или охарактеризовать, как многогранники, или же мысленно привести их к форме многогранника.
Искусство всегда обращалось к миру природы. Удивительны по своей красоте природные многогранники. Кристаллы кварца имеют форму призмы с одной остроконечной вершиной, кристалл пирита - форму додекаэдра, кристаллы лазурита - форму ромбододекаэдров, магнетит, золото и медь - форму октаэдров, галенит, хлорид натрия, платина и алмазы имеют формы кубов. Даже математическая теория симметрии появилась тогда, когда геологи стали проявлять интерес к кристаллографии и геометрической классификации. Кристаллография изучает форму, рост и геометрию кристаллов.
Интерес к многогранникам возник уже в период Античности. Следует сказать, что согласно Платону, математическими вещами являются не те объекты, с которыми оперирует арифметика, а именно геометрические фигуры: четырехугольники, треугольники, окружности, а также их фрагменты, углы и радиусы.
Во времена, когда стали господствовать в физике понятия массы и силы, конструктивная идея Платона стала казаться наивной. Однако в современном мире отношение к ней поменялось. Во многих областях современной науки на первый план выдвигается понятие структуры - кристаллография, структурная химия, изучение свойства элементарных частиц и тому подобное. В гуманитарном и естественнонаучном направлениях человеческих исследований возникает такое понятие, как структурализм.
Правильными многогранниками или телами Платона называют такие многогранники, у которых грани равные и правильные многоугольники и углы при вершинах равны. Длина ребер у правильных многогранников одинакова, в вершинах сходится одинаковое число ребер, а линейные углы равны. Более того, вокруг каждого правильного многоугольника можно описать сферу, и, в свою очередь, каждый правильный многоугольник можно вписать в сферу
В Античный период к каждому платонову телу придавалось свое символическое значение. Каждому из пяти правильных многогранников соответствовала своя стихия. Тетраэдр символизировал огонь, гексаэдр – землю, икосаэдр – воду, додекаэдр - пятую сущность. В некоторых источниках он ассоциировался с небесной сферой.
Платон отождествлял многогранники с прекрасным. «А что же касается числовых отношений, сокрытых в их числах, в их движениях и основных свойствах, нужно всегда считать, что Бог создал их целиком и в точности, тем самым установил математическую гармонию между элементами», - говорилось в одном из его «Диалогов».
Многогранники изучали, анализировали, исследовали, рисовали, открывали.
Венцель Ямницер (1508-1585) был выдающимся художником и первооткрывателем многогранников. В его книге «Perspectiva Corpurum Regularium» (1557) были помещены гравюры, выполненные по его рисункам гравером Йостом Амменом.
Математик и астроном Иоганн Кеплер (1571-1630) провел исследование многогранников и даже создал модель, где связывал правильные многоугольники и космологию.
Одно из основных геометрических понятий – отображение множеств. В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие точка двухмерного пространства, то есть – плоскости. Геометрическое пространство, как множество точек может быть отображено на плоскости посредством метода проецирования.
Любую геометрическую фигуру, как уже было сказано, следует воспринимать, как определенное множество, принадлежащих ей точек. Соответственно проекцией этой фигуры будет множество проекций этих точек.
Различные способы изображения пространственных форм на плоскости, которые применяют при создании наглядных изображений, технических рисунков и чертежей, основаны на методе проекций.
Интересным заданием для развития пространственного мышления и воображения, может стать построение додекаэдра в перспективе. Оно способно заставить буквально рассекать пространство мыслью.
Для того чтобы построить додекаэдр в перспективе надо действовать исходя из возможности додекаэдра быть достроенным до звездчатой фигуры. Знание такого свойства может очень хорошо помочь в мысленном освоении пространства. В таком случае на пересечении лучей, стремящихся к завершению в виде пирамиды, и будут находиться стороны додекаэдра.
Проведем линии, которые соединяют вершины в основании пирамид, это будут линии LI и MR. Обозначим точкой U точку их пересечения. Линия RM пересечется с линией LW в точке X. В свою очередь линия LI пересечется с линией MY в точке Y.
Далее нужно построить треугольник MXK, благодаря которому будет найдена сторона додекаэдра. В результате пересечения линий получили фигуру NUXZJ, которая и является этой стороной. Продолжаем построение. Из точки L в точку Z проведем прямую линию, которая пересечется с линией KV в точке D. Причем луч, проходящий через отрезок XD, вместе с параллельными линиями из оснований верхнего и нижнего малых пятиугольников, сойдутся т. f2 на линии горизонта. Фигура XZDΦΛ - тоже сторона додекаэдра. Пятиугольник UXΛΓΥ получается, как говорится, сам собой. Из точки Z ведется луч в т. f1, который пересекает линию SW в точке Π. Соединяются точки D и Π, в результате чего получается ещё одна сторона додекаэдра, которая была бы невидима, если бы додекаэдр был выполнен из непрозрачного материала. По такому же принципу можно построить и симметричную сторону. Из т. K в т. П проводится прямая линия, которая на пересечении с линией OP будет образовывать вершину наиболее удаленной от зрителя стороны додекаэдр (рисунок 1).
Исследование подобной пространственной геометрической фигуры представляет для нас интерес, прежде всего с точки зрения её взаимоотношения с окружающим пространством. Как уже стало понятно, додекаэдр может быть достроен до звездчатого додекаэдра (рисунок 2).
И поскольку речь шла о своеобразной методике работы посредством мысленного вырубания формы из цельного куска материала, то вполне уместным будет представлять себе какие куски можно отрезать от цилиндра, чтобы в итоге получился додекаэдр (рисунок 3).
При работе над рисунком, изображаемую форму, можно проанализировать, как многогранную. Объемность формы зависит от ее поверхности. Чем более многогранной является поверхность, тем объект, ею обладающий, будет восприниматься более объемным (рисунок 4).
Обруч мадзоккио представляет собой достаточно интересную в объемно-пространственном отношении фигуру. Если взять равносторонний двенадцатигранник, как горизонтальное сечение объемной фигуры, и равносторонний восьмигранник, то получится та самая фигура, которую Джорджо Вазари назвал мадзоккио (le mazzocchio).
Одни внешние диагональные стороны двух правильных восьмигранников, по одной от каждого, будут лежать на линиях, являющихся гранями пирамиды с вершиной в точке R. Другие две внешние диагональные стороны будут лежать на гранях пирамиды, направленной вершиной вниз, обозначенной буквой T.
Грани обруча лежащие в двух параллельных плоскостях, будут иметь своими центрами - центры окружностей (рисунок 5).
Размышляя над возможностями пространственного взаимодействия форм, было решено соединить каркасную модель додекаэдра с двумя каркасными моделями взаимно пересекающихся обручей мадзоккио.
И одна из студенток, удачно справляющаяся с заданиями по макетированию, попросила дать ей специальное, достаточно сложное задание. Еей было предложено приступить к созданию модели в программе 3dsMax. Идеальная форма шар – сфера была положена в его основу. Сфера была образована тремя взаимно пересекающимися обручами Мадзоккио. Два простых обруча, т. е. имеющие окружность в сечении, проходили сквозь них, а внутри помещался ромбо-кубо-октаэдр. Так получился макет, который студенты условно назвали «сфера Мациевского» (рисунок 6).
В картине «Черное и белое» (рисунок 8) помимо главного изображена и Теорема Дезарга.
Сама теорема формулируется так: «Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трех пар соответственных сторон треугольников лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку».
Примечательно, что теорема действительна, как для плоскости, так и для трехмерного пространства.
При создании живописного произведения можно также анализировать изображаемую форму, как многогранник. В таком случае каждая грань будет иметь свой оттенок (рисунок 10).
В 1884 г. английский писатель Эдвин Эббот опубликовал свой роман «Флатландия». Повествование ведется от лица главного героя, гражданина Квадрата, который рассказывает о свих путешествиях. В первой части книги идет описание той страны, где живет Квадрат, двухмерной Флатландии, где, живут квадраты, пятиугольники. Дома имеют пятиугольную форму. Женщины имеют форму прямых линий, солдаты и представители низших слоев имеют форму равнобедренных треугольников, профессионалы, а к ним относится, как раз главный герой, имеют форму квадрата, джентльмены форму пятиугольника, жрецы - форму круга.
Вторая часть книги называется «Иные миры».
Сначала Квадрат оказывается в Лайнландии, мир которой является одномерным. Он населен жителями, мужчины представлены в виде прямых отрезков, женщины в виде точек. Квадрат, находясь еще вне Лайнландии, обращается к ее королю, однако король даже не может понять, с кем он разговаривает. Математик Квадрат пытается объяснить, что он живет в двухмерном мире.
Затем Квадрат встречается со Сферой, живущей в трехмерном мире, Спейсландии. В этот раз уже Сфера стремится объяснить возможность трехмерного пространства, подобно диалогу Квадрата с королем Лайнландии. Сфера пересекает Флатландию, но Квадрат думает, что появляющиеся окружности – это флатландские жрецы, а не сечения сферы. Благодаря тому, что обитатели Флатландии имеют постоянную толщину в своем измерении, Сфере удается вынести Квадрат за пределы двухмерного мира и показать трехмерный.
Квадрат поражен необычайностью трехмерного мира, но будучи математиком, высказывает Сфере свои соображения о возможности существования четырехмерного пространства. Однако, сама мысль об этом представляется Сфере, недопустимой.
Литературное произведение заканчивается тем, что математик Квадрат заключен в тюрьму во Флатландии за написание трактата о трехмерном мире.
Роман Эдвина Эббота вдохновил других авторов на создание подобных произведений. Размышление о возможности многомерности отразилось в работе «Возведение в степень» (рисунок 11).
Настало время поговорить о пространственной структуре. Ее можно увидеть и проследить среди многих изобразительных объектов.
Встречается даже такой термин, как «пространственная модель», в том случае, когда изображаемые предметы располагается таким образом, чтобы они выявляли пространство.
Очень важно увидеть не только сам изображаемый объект, но и связанное с ним, окружающее и находящееся внутри пространство.
Понятие пространственной структуры связано непосредственно с архитектурой. Но такая своеобразная архитектоника может быть проявлена и в изображении очень многого. Композиция из бытовых предметов, природный вид и человеческая фигура могут быть трактованы, исходя из принципа видения структуры. Чувство внутренней конструкции и связи с пространственной структурой могут развивать различные задания.
Работа с многогранниками развивает представление о материальном пространстве, как о точечном множестве, что является хорошей базой для философского миропонимания. Также такое представление необходимо для проектного мышления, инженерных и технических специальностей. Подобное представление нужно для множества научных дисциплин. Без представления о материальном пространстве, как о точечном множестве практически невозможна работа в архитектуре, искусстве, дизайне.
Список литературы
1. Клауди Альсина. Тысяча граней геометрической красоты. Многогранники / Пер. с исп. М.: Де Агостини, 2014. 144 с.
2. Короев Ю.И. Начертательная геометрия. М.: Архитектура–С, 2007. 424 с.
3. Фролов С.А., Покровская М.В. В поисках начала. Рассказы о начертательной геометрии. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.
4. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика,1989. 352 с.
5. Pope-Hennessy. The complete work of Paolo Uccello. London: Phaidon press limited, 1950.
References
1. Klaudi Alsina. Tysiacha graney geometricheskoy krasoty. Mnogogranniki/ Per. s isp.-M.: De Agostini. 2014. 111 p.
2. Koroev Yu.I. Nachertatelnaya geometriya. M.: Arkhitektura-S, 2007. 424 p.
3. Frolov. S.A., Pokrovskaya M.V. V poiskakh nachala. Rasskazy o nachertatelnoy geometrii. M.: MGTU im. N.E. Baumana, 2008.
4. Entsyklopedicheskiy slovar yunogo matematika. M.: Pedagogika, 1989. 352 p.
5. Pope-Hennessy. The complete work of Paolo Uccello. London: Phaidon press limited, 1950.
Рецензенты:
Уваров В.Д. - доктор искусствоведения, профессор, заслуженный художник России, ФГБОУ ВО «Московский государственный университет дизайна и технологии».
Рымшина Т.А. - кандидат искусствоведения, доцент кафедры изобразительных искусств, АНО ВО «Институт бизнеса и дизайна».
Работа поступила в редакцию: 20.02.2017 г.
УДК 741.021.4.
МНОГОГРАННИКИ В ИСКУССТВЕ
Мациевский Денис Евгеньевич
АНО ВО «Институт Бизнеса и Дизайна», Москва, Россия (129090, г. Москва, Протопоповский переулок, дом 9, стр. 1), доцент кафедры Изобразительного искусства, denis.matsievskiy@mail.ru, +7-917-517-43-98.
На примере собственных художественных произведений, авторских чертежей и схем показывается значение многогранников, как в изобразительном искусстве, так и в других пластических искусствах. Указывается на значение развития пространственного мышления и воображения.
Цель статьи: ознакомить читателя с прекрасным миром многогранников, показать возможности геометрического анализа формы, выявить междисциплинарные связи. Дается возможность увидеть взаимосвязь науки и искусства.
В статье повествуется о структурном подходе к рисунку, об эстетической привлекательности «математических вещей». Статья рассчитана на студентов художественных, архитектурных, дизайнерских специальностей, а также на всех интересующихся искусством.
Ключевые слова: изобразительное искусство; геометрия; додекаэдр; перспектива; рисунок; живопись.
THE POLYHEDRA IN ART
Matsievskiy Denis Evgenevich
Institute of Business and Design (B&D), Moscow, Russia (129090, Moscow, Protopopovskiy lane, 9/1), Associate Professor, Department of Visual Arts, denis.matsievskiy@mail.ru, +7-917-517-43-98.
For example, your own artistic works, copyright of drawings and schemes shows the importance of polyhedra as in the visual arts and other plastic arts. Acknowledge the importance of development of spatial thinking and imagination.
The purpose of this article is to familiarize the reader to the wonderful world of polyhedrons to show the possibilities of geometric analysis of shape to identify interdisciplinary connections. Given the opportunity to see the relationship between science and art.
The article talks about a structural approach to drawing, about the aesthetic appeal of "mathematical things". This article is intended for students of art, architectural, and design professions, as well as to all those interested in art.
Kay-words: art, geometry, dodecahedron, perspective, drawing, painting.
Многогранный мир прекрасен. Он удивителен своим многообразием, своей многогранностью, каждая грань это что-то новое, она всегда обещает нам что-то другое, доселе не виданное. И что удивительно, мы просто окружены многогранниками. Стоит просто посмотреть вокруг. Та комната, аудитория, зал, где вы находитесь сейчас, читая эту статью, как правило, имеет форму прямоугольного параллелепипеда.
Если начать смотреть и анализировать, то окажется, что множество видимых нами объектов можно или охарактеризовать, как многогранники, или же мысленно привести их к форме многогранника.
Искусство всегда обращалось к миру природы. Удивительны по своей красоте природные многогранники. Кристаллы кварца имеют форму призмы с одной остроконечной вершиной, кристалл пирита - форму додекаэдра, кристаллы лазурита - форму ромбододекаэдров, магнетит, золото и медь - форму октаэдров, галенит, хлорид натрия, платина и алмазы имеют формы кубов. Даже математическая теория симметрии появилась тогда, когда геологи стали проявлять интерес к кристаллографии и геометрической классификации. Кристаллография изучает форму, рост и геометрию кристаллов.
Интерес к многогранникам возник уже в период Античности. Следует сказать, что согласно Платону, математическими вещами являются не те объекты, с которыми оперирует арифметика, а именно геометрические фигуры: четырехугольники, треугольники, окружности, а также их фрагменты, углы и радиусы.
Во времена, когда стали господствовать в физике понятия массы и силы, конструктивная идея Платона стала казаться наивной. Однако в современном мире отношение к ней поменялось. Во многих областях современной науки на первый план выдвигается понятие структуры - кристаллография, структурная химия, изучение свойства элементарных частиц и тому подобное. В гуманитарном и естественнонаучном направлениях человеческих исследований возникает такое понятие, как структурализм.
Правильными многогранниками или телами Платона называют такие многогранники, у которых грани равные и правильные многоугольники и углы при вершинах равны. Длина ребер у правильных многогранников одинакова, в вершинах сходится одинаковое число ребер, а линейные углы равны. Более того, вокруг каждого правильного многоугольника можно описать сферу, и, в свою очередь, каждый правильный многоугольник можно вписать в сферу
В Античный период к каждому платонову телу придавалось свое символическое значение. Каждому из пяти правильных многогранников соответствовала своя стихия. Тетраэдр символизировал огонь, гексаэдр – землю, икосаэдр – воду, додекаэдр - пятую сущность. В некоторых источниках он ассоциировался с небесной сферой.
Платон отождествлял многогранники с прекрасным. «А что же касается числовых отношений, сокрытых в их числах, в их движениях и основных свойствах, нужно всегда считать, что Бог создал их целиком и в точности, тем самым установил математическую гармонию между элементами», - говорилось в одном из его «Диалогов».
Многогранники изучали, анализировали, исследовали, рисовали, открывали.
Венцель Ямницер (1508-1585) был выдающимся художником и первооткрывателем многогранников. В его книге «Perspectiva Corpurum Regularium» (1557) были помещены гравюры, выполненные по его рисункам гравером Йостом Амменом.
Математик и астроном Иоганн Кеплер (1571-1630) провел исследование многогранников и даже создал модель, где связывал правильные многоугольники и космологию.
Одно из основных геометрических понятий – отображение множеств. В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие точка двухмерного пространства, то есть – плоскости. Геометрическое пространство, как множество точек может быть отображено на плоскости посредством метода проецирования.
Любую геометрическую фигуру, как уже было сказано, следует воспринимать, как определенное множество, принадлежащих ей точек. Соответственно проекцией этой фигуры будет множество проекций этих точек.
Различные способы изображения пространственных форм на плоскости, которые применяют при создании наглядных изображений, технических рисунков и чертежей, основаны на методе проекций.
Интересным заданием для развития пространственного мышления и воображения, может стать построение додекаэдра в перспективе. Оно способно заставить буквально рассекать пространство мыслью.
Для того чтобы построить додекаэдр в перспективе надо действовать исходя из возможности додекаэдра быть достроенным до звездчатой фигуры. Знание такого свойства может очень хорошо помочь в мысленном освоении пространства. В таком случае на пересечении лучей, стремящихся к завершению в виде пирамиды, и будут находиться стороны додекаэдра.
Проведем линии, которые соединяют вершины в основании пирамид, это будут линии LI и MR. Обозначим точкой U точку их пересечения. Линия RM пересечется с линией LW в точке X. В свою очередь линия LI пересечется с линией MY в точке Y.
Далее нужно построить треугольник MXK, благодаря которому будет найдена сторона додекаэдра. В результате пересечения линий получили фигуру NUXZJ, которая и является этой стороной. Продолжаем построение. Из точки L в точку Z проведем прямую линию, которая пересечется с линией KV в точке D. Причем луч, проходящий через отрезок XD, вместе с параллельными линиями из оснований верхнего и нижнего малых пятиугольников, сойдутся т. f2 на линии горизонта. Фигура XZDΦΛ - тоже сторона додекаэдра. Пятиугольник UXΛΓΥ получается, как говорится, сам собой. Из точки Z ведется луч в т. f1, который пересекает линию SW в точке Π. Соединяются точки D и Π, в результате чего получается ещё одна сторона додекаэдра, которая была бы невидима, если бы додекаэдр был выполнен из непрозрачного материала. По такому же принципу можно построить и симметричную сторону. Из т. K в т. П проводится прямая линия, которая на пересечении с линией OP будет образовывать вершину наиболее удаленной от зрителя стороны додекаэдр (рисунок 1).
Исследование подобной пространственной геометрической фигуры представляет для нас интерес, прежде всего с точки зрения её взаимоотношения с окружающим пространством. Как уже стало понятно, додекаэдр может быть достроен до звездчатого додекаэдра (рисунок 2).
И поскольку речь шла о своеобразной методике работы посредством мысленного вырубания формы из цельного куска материала, то вполне уместным будет представлять себе какие куски можно отрезать от цилиндра, чтобы в итоге получился додекаэдр (рисунок 3).
При работе над рисунком, изображаемую форму, можно проанализировать, как многогранную. Объемность формы зависит от ее поверхности. Чем более многогранной является поверхность, тем объект, ею обладающий, будет восприниматься более объемным (рисунок 4).
Обруч мадзоккио представляет собой достаточно интересную в объемно-пространственном отношении фигуру. Если взять равносторонний двенадцатигранник, как горизонтальное сечение объемной фигуры, и равносторонний восьмигранник, то получится та самая фигура, которую Джорджо Вазари назвал мадзоккио (le mazzocchio).
Одни внешние диагональные стороны двух правильных восьмигранников, по одной от каждого, будут лежать на линиях, являющихся гранями пирамиды с вершиной в точке R. Другие две внешние диагональные стороны будут лежать на гранях пирамиды, направленной вершиной вниз, обозначенной буквой T.
Грани обруча лежащие в двух параллельных плоскостях, будут иметь своими центрами - центры окружностей (рисунок 5).
Размышляя над возможностями пространственного взаимодействия форм, было решено соединить каркасную модель додекаэдра с двумя каркасными моделями взаимно пересекающихся обручей мадзоккио.
И одна из студенток, удачно справляющаяся с заданиями по макетированию, попросила дать ей специальное, достаточно сложное задание. Еей было предложено приступить к созданию модели в программе 3dsMax. Идеальная форма шар – сфера была положена в его основу. Сфера была образована тремя взаимно пересекающимися обручами Мадзоккио. Два простых обруча, т. е. имеющие окружность в сечении, проходили сквозь них, а внутри помещался ромбо-кубо-октаэдр. Так получился макет, который студенты условно назвали «сфера Мациевского» (рисунок 6).
В картине «Черное и белое» (рисунок 8) помимо главного изображена и Теорема Дезарга.
Сама теорема формулируется так: «Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трех пар соответственных сторон треугольников лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку».
Примечательно, что теорема действительна, как для плоскости, так и для трехмерного пространства.
При создании живописного произведения можно также анализировать изображаемую форму, как многогранник. В таком случае каждая грань будет иметь свой оттенок (рисунок 10).
В 1884 г. английский писатель Эдвин Эббот опубликовал свой роман «Флатландия». Повествование ведется от лица главного героя, гражданина Квадрата, который рассказывает о свих путешествиях. В первой части книги идет описание той страны, где живет Квадрат, двухмерной Флатландии, где, живут квадраты, пятиугольники. Дома имеют пятиугольную форму. Женщины имеют форму прямых линий, солдаты и представители низших слоев имеют форму равнобедренных треугольников, профессионалы, а к ним относится, как раз главный герой, имеют форму квадрата, джентльмены форму пятиугольника, жрецы - форму круга.
Вторая часть книги называется «Иные миры».
Сначала Квадрат оказывается в Лайнландии, мир которой является одномерным. Он населен жителями, мужчины представлены в виде прямых отрезков, женщины в виде точек. Квадрат, находясь еще вне Лайнландии, обращается к ее королю, однако король даже не может понять, с кем он разговаривает. Математик Квадрат пытается объяснить, что он живет в двухмерном мире.
Затем Квадрат встречается со Сферой, живущей в трехмерном мире, Спейсландии. В этот раз уже Сфера стремится объяснить возможность трехмерного пространства, подобно диалогу Квадрата с королем Лайнландии. Сфера пересекает Флатландию, но Квадрат думает, что появляющиеся окружности – это флатландские жрецы, а не сечения сферы. Благодаря тому, что обитатели Флатландии имеют постоянную толщину в своем измерении, Сфере удается вынести Квадрат за пределы двухмерного мира и показать трехмерный.
Квадрат поражен необычайностью трехмерного мира, но будучи математиком, высказывает Сфере свои соображения о возможности существования четырехмерного пространства. Однако, сама мысль об этом представляется Сфере, недопустимой.
Литературное произведение заканчивается тем, что математик Квадрат заключен в тюрьму во Флатландии за написание трактата о трехмерном мире.
Роман Эдвина Эббота вдохновил других авторов на создание подобных произведений. Размышление о возможности многомерности отразилось в работе «Возведение в степень» (рисунок 11).
Настало время поговорить о пространственной структуре. Ее можно увидеть и проследить среди многих изобразительных объектов.
Встречается даже такой термин, как «пространственная модель», в том случае, когда изображаемые предметы располагается таким образом, чтобы они выявляли пространство.
Очень важно увидеть не только сам изображаемый объект, но и связанное с ним, окружающее и находящееся внутри пространство.
Понятие пространственной структуры связано непосредственно с архитектурой. Но такая своеобразная архитектоника может быть проявлена и в изображении очень многого. Композиция из бытовых предметов, природный вид и человеческая фигура могут быть трактованы, исходя из принципа видения структуры. Чувство внутренней конструкции и связи с пространственной структурой могут развивать различные задания.
Работа с многогранниками развивает представление о материальном пространстве, как о точечном множестве, что является хорошей базой для философского миропонимания. Также такое представление необходимо для проектного мышления, инженерных и технических специальностей. Подобное представление нужно для множества научных дисциплин. Без представления о материальном пространстве, как о точечном множестве практически невозможна работа в архитектуре, искусстве, дизайне.
Список литературы
1. Клауди Альсина. Тысяча граней геометрической красоты. Многогранники / Пер. с исп. М.: Де Агостини, 2014. 144 с.
2. Короев Ю.И. Начертательная геометрия. М.: Архитектура–С, 2007. 424 с.
3. Фролов С.А., Покровская М.В. В поисках начала. Рассказы о начертательной геометрии. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008.
4. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика,1989. 352 с.
5. Pope-Hennessy. The complete work of Paolo Uccello. London: Phaidon press limited, 1950.
References
1. Klaudi Alsina. Tysiacha graney geometricheskoy krasoty. Mnogogranniki/ Per. s isp.-M.: De Agostini. 2014. 111 p.
2. Koroev Yu.I. Nachertatelnaya geometriya. M.: Arkhitektura-S, 2007. 424 p.
3. Frolov. S.A., Pokrovskaya M.V. V poiskakh nachala. Rasskazy o nachertatelnoy geometrii. M.: MGTU im. N.E. Baumana, 2008.
4. Entsyklopedicheskiy slovar yunogo matematika. M.: Pedagogika, 1989. 352 p.
5. Pope-Hennessy. The complete work of Paolo Uccello. London: Phaidon press limited, 1950.
Рецензенты:
Уваров В.Д. - доктор искусствоведения, профессор, заслуженный художник России, ФГБОУ ВО «Московский государственный университет дизайна и технологии».
Рымшина Т.А. - кандидат искусствоведения, доцент кафедры изобразительных искусств, АНО ВО «Институт бизнеса и дизайна».
Работа поступила в редакцию: 20.02.2017 г.
